< Chronological >      < Thread >

<TeXmacs|1.99.4>

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  <doc-data|<doc-title|L'enseignement de l'algèbre linéaire
  au<new-line>niveau universitaire>|<doc-subtitle|Analyse didactique et
  épistémologique >|<doc-author|<author-data|<author-name|Marc
  Lalaude-Labayle>>>|<doc-date|<date>>>

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    <vspace*|1fn><with|font-series|bold|math-font-series|bold|Introduction>
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    Contexte de nos travaux <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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    Premières questions <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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    Canevas de cette thèse <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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  <part|>

  <chapter*|Introduction>

  <section*|Contexte de nos travaux>

  La linéarité apparait comme une notion essentielle tant en mathématiques
  (Ellenberg, 2014) que pour leur enseignement (Rouche, 2002). Comme le
  rappelle cet auteur

  <\quotation>
    Dans cet ouvrage, nous montrons le pouvoir éclairant de la <em|structure
    linéaire>. C'est celle qui sous-tend les grandeurs et leur mesure, les
    rapports et les proportions, la similitude, l'algèbre du premier degré,
    les combinaisons linéaires et les espaces vectoriels. L'idée de
    linéarité, qui apparaît modestement à l'école maternelle, se construit
    par généralisations successives tout au long de la scolarité. (Rouche,
    2002, pp. 1-2)
  </quotation>

  Au niveau de l'enseignement supérieur, l'algèbre linéaire est un domaine
  mathématique au programme de la plupart des filières ayant des
  mathématiques comme discipline enseignée. C'est le cas notamment des
  filières de Classes Préparatoires aux Grandes Écoles (CPGE) dans lesquelles
  nous situons notre travail. La notion d'application linéaire bénéficie d'un
  rôle central dans l'enseignement de l'algèbre linéaire, pouvant, comme dans
  l'ouvrage de Halmos (1942), constituer un fil conducteur

  <\quotation>
    My purpose in this book is to treat linear transformations on
    finite-dimensional vector spaces by the methods of more general theories.
    (Halmos, 1942, preface p. v)
  </quotation>

  Notre travail de recherche en didactique concerne donc cet objet \S
  application linéaire \T en tant qu'objet d'enseignement dans le cadre des
  CPGE. Nous espérons ainsi compléter les travaux didactiques existants
  portant sur l'algèbre linéaire d'une part et sur les CPGE en tant
  qu'institution d'autre part.

  <section*|Premières questions>

  Notre recherche trouve son origine dans les difficultés que semblent
  rencontrer les étudiants lorsque, en situation de résolution de problème,
  ils manipulent certaines notions mathématiques dites \S abstraites \T. En
  particulier, les objets de l'algèbre linéaire semblent faire obstacle,
  confirmant dans le cadre institutionnel des CPGE ce que Dorier (1997)
  appelle \S l'obstacle du formalisme \T. En effet, en tant que professeur de
  Mathématiques en CPGE, nous intervenons lors d'interrogations orales dans
  différentes classes, de niveaux et de filières distinctes. Lors de ces
  interventions, nous sommes confrontés aux remarques d'étudiants sur le \S
  côté abstrait \T des espaces vectoriels et, malgré la diversité des
  enseignements et des programmes des différentes filières, constatons une
  difficulté commune à aborder les problèmes d'algèbre
  linéaire.<new-line>Dans un premier temps, nous nous sommes interrogés sur
  les différentes approches envisagées dans l'enseignement supérieur pour
  introduire et faire manipuler les objets \S espace vectoriel \T et \S
  application linéaire \T. Cela nous a conduit à des travaux pédagogiques de
  mathématiciens proposant une réflexion sur l'enseignement de l'algèbre
  linéaire<\footnote>
    Nous pensons en particulier aux articles de Carlson (1992, 1993a et
    1993b), d'Axler (1995), au blog de Gowers (2007) ...
  </footnote>. De ces lectures se dégagent caricaturalement deux pratiques
  pédagogiques pour aborder l'enseignement de l'algèbre linéaire :

  <\itemize>
    <item>une approche que nous qualifions pour l'instant de numérique et qui
    s'appuie sur la notion de système linéaire et de matrice associée. Cette
    approche, initiée par Mc Duffee dès 1943, est mise en avant durant les
    années 70 par des ouvrages anglo-saxons (par exemple, les ouvrages
    d'Anton : Elementary Linear Algebra, 1973, Lang) et promue en 1993 par le
    Linear Algebra Curriculum Study Group Recommendations (LACSG
    recommendations) :\ 

    <\quotation>
      a matrix-oriented course should proceed from concrete, and in many
      cases practical, examples to the development of general concepts (...)
      (Carlson <em|et al.>, 1993, p. 42)
    </quotation>

    <item>une méthode plus formelle, plus structurelle dans laquelle, les
    espaces vectoriels sont définis de manière axiomatique constituent
    souvent le premier chapitre. Héritée de N÷ther et Van Der Waerden,
    popularisée entre autres par Birkhoff et Mac Lane (1941) et Bourbaki
    (1947), c'est une approche \S traditionnelle \T pour l'enseignement de
    l'algèbre linéaire

    <\quotation>
      Le mode d'exposition suivi est axiomatique et procède le plus souvent
      du général au particulier. Les nécessités de la démonstration exigent
      que les chapitres se suivent, en principe, dans un ordre logique
      rigoureusement fixé. L'utilité de certaines considérations n'apparaîtra
      donc au lecteur qu'à la lecture de chapitres ultérieurs, à moins qu'il
      ne possède déjà des connaissances assez étendues. (Bourbaki, 1970, mode
      d'emploi de ce traité, p. vii)\ 
    </quotation>

    On trouve une telle présentation axiomatique<\footnote>
      Cette méthode axiomatique, structuraliste et déductive est d'ailleurs à
      l'origine de ce que l'on a appelé en France les \S maths modernes \T :
      \S Dans les années 60 et 70 du XXème siècle, les promoteurs des \S
      mathématiques modernes \T avaient proposé un fil conducteur unique et
      clair pour l'enseignement des mathématiques. Pour le dire sommairement,
      ils privilégiaient les structures et l'enchaînement déductif qui va des
      ensembles et relations aux systèmes de nombres et aux espaces
      vectoriels. Cette conception exhibait l'unité de la mathématique, que
      ces promoteurs défendaient si éloquemment. \T (Rouche, 2002, p. 1)
    </footnote> dans bon nombre d'ouvrages destinés aux étudiants de
    l'enseignement supérieur et de Licence et de CPGE en particulier.
  </itemize>

  Plus spécifiquement, pour appréhender les notions d'application linéaire et
  de matrice deux parcours semblent donc envisageables : s'appuyer sur le
  calcul matriciel pour introduire les notions d'application linéaire voire
  d'espace vectoriel ou, a contrario, construire l'objet matrice après avoir
  défini celui d'application linéaire.<new-line>En lien avec ces réflexions,
  les questions premières qui motivent notre recherche didactique peuvent
  alors s'énoncer ainsi :

  <\enumerate>
    <item>Quelles sont les difficultés que rencontrent les étudiants lors de
    la résolution de problèmes d'algèbre linéaire ?

    <item>Quels sont les enjeux, en terme de niveau de justification et de
    raisonnements attendus d'une approche numérique ou d'une approche
    axiomatique au regard de ces difficultés ?

    <item>Quelles interprétations peut-on faire de ces difficultés, et
    quelles hypothèses peut-on émettre sur leurs origines ?

    <item>Quels dispositifs peut-on adapter ou construire pour permettre une
    meilleure prise en compte et un meilleur contrôle des raisonnements
    produits relativement aux savoirs mathématiques visés ?
  </enumerate>

  Ainsi, de réflexions pédagogiques autour des enjeux de l'enseignement de
  notions d'algèbre linéaire, nous sommes confrontés à une réflexion
  didactique. En effet, pour apporter des éléments de réponse aux questions
  précédentes nous devons déterminer dans un premier temps comment donner à
  donner à voir les pratiques, les raisonnements et les processus
  d'apprentissage en jeu dans les situations d'enseignement étudiées. Puis,
  dans un second temps, analyser ces observables rigoureusement en adéquation
  avec les connaissances et les savoirs des étudiants ainsqi qu'avec leurs
  modes de raisonnement. La didactique des mathématiques, en tant que \S
  science des conditions spécifiques de la diffusion des connaissances
  mathématiques \T (Brousseau, 1994, p. 52) s'impose alors. Mais, avec la
  complexité des notions mathématiques abordées à ce niveau d'enseignement,
  une simple mise en ÷uvre de techniques et procédures standards ne suffit
  généralement pas à résoudre les problèmes auxquels les étudiants sont
  confrontés. Donc, pour évaluer la capacité d'un étudiant à mobiliser ses
  savoirs et ses connaissances face à un problème, pour évaluer sa
  compréhension des objets mathématiques, nous devons procéder à une analyse
  des raisonnements complexes qu'il produit. Pour mener une analyse de
  raisonnements complexes, nous devons nous appuyer sur des outils
  didactiques théoriques adaptés au niveau d'enseignement et à la complexité
  des objets mathématiques étudiés ainsi que sur des expérimentations conçues
  pour répondre spécifiquement aux questions posées.

  <section*|Canevas de cette thèse>

  Pour aborder ces questions de recherche, nous procédons en deux parties.
  Dans une première partie plutôt théorique, nous commençons (chapitre 1) par
  dresser un panorama des travaux didactiques concernant l'algèbre linéaire
  en lien avec nos questions ainsi que ceux concernant les phénomènes de
  transition entre secondaire et supérieur. Puis (chapitre 2), nous proposons
  une étude épistémologique de l'objet \S application linéaire \T et du lien
  avec l'émergence de l'algèbre linéaire, étude sur laquelle nous pourrons
  nous appuyer pour identifier des ruptures et obstacles épistémologiques
  susceptibles d'être à l'origine de difficultés chez les étudiants. Ensuite
  (chapitre 3), nous revenons sur la notion de raisonnement mathématique
  produit en situation en la distinguant de celle de raisonnement
  mathématique, au sens usuel du terme. Nous motivons puis présentons ensuite
  les cadres théoriques dont l'articulation éclaire notre réflexion
  didactique sur l'objet \S application linéaire \T et son enseignement ainsi
  que les phénomènes de transition. En particulier, nous enrichissons le
  modèle d'analyse des raisonnements de Bloch et Gibel (2011) et développons
  un outil d'analyse sémiotique appelé diagramme sémantique. Enfin, pour
  conclure cette première partie, nous proposons (chapitre 4) un retour sur
  les questions premières à l'origine de notre recherche. Nous les précisons
  alors à l'aide des cadres didactiques rappelés au chapitre précédent. Puis
  nous présentons la méthodologie que nous adoptons dans la partie suivante
  afin d'apporter des éléments de réponse à ces questions
  didactiques.<new-line>Dans la seconde partie, plutôt expérimentale, nous
  envisageons de mener une analyse des raisonnements et des difficultés
  produits par les étudiants en situation d'interrogation orale. Au travers
  d'analyses d'ouvrages et curriculaires, nous commençons (chapitre 5) par
  préciser les raisonnements, savoirs et connaissances que l'on peut attendre
  d'un étudiant de CPGE concernant les applications linéaires. Nous utilisons
  alors entre autres les notions d'organisations mathématiques de la Théorie
  Anthropologique du Didactique présentés dans le chapitre 3. Nous présentons
  ensuite (chapitre 6) le cadre institutionnel d'une interrogation orale \S
  classique \T puis y analysons à l'aide du modèle enrichi de Bloch et Gibel
  (2011) et du diagramme sémantique les raisonnements produits en situation.
  La Théorie des Situations Didactiques avec la sémiotique de Peirce, dont
  les éléments utiles à nos travaux sont rappelés au chapitre 3, proposent un
  cadre pertinent pour mener notre analyse des raisonnements produits par les
  étudiants en situation et comprendre les difficultés auxquelles ils sont
  alors confrontées. Nous procédons ensuite (chapitres 7 et 8) à une même
  analyse des raisonnements produits dans deux situations expérimentales
  conçues sur le même modèle. Nous y soulignons alors les différences,
  notamment en terme de milieu au sens de la Théorie des Situations
  Didactiques, avec la situation d'interrogation orale dite \S classique
  \T.<new-line>Enfin, nous proposons en conclusion une synthèse des résultats
  didactiques<\footnote>
    Résultat didactique est à prendre ici au sens de Joshua (1996) : \S Un
    \S<nbsp>résultat<nbsp>\T en didactique est un bloc qui comprend des
    analyses de données empiriques saisies dans un cadre théorique
    explicatif, et c'est ce bloc, et lui seul, qui est doté éventuellement
    d'une certaine stabilité dans des contextes semblables. Si la stabilité
    est avérée, les conclusions de travaux didactiques peuvent en partie se
    détacher des préoccupations propres au chercheur pour être légitimement
    considérées comme des résultats. \T (Joshua, 1996, p. 197)
  </footnote> obtenus et indiquons quelques perspectives de recherche
  ouvertes par nos travaux.
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• [TeXmacs] TOC and page headers problems, marc lalaude-labayle, 08/18/2016
  • Re: [TeXmacs] TOC and page headers problems, marc lalaude-labayle, 08/18/2016
    • Re: [TeXmacs] TOC and page headers problems, Martial Tarizzo, 08/18/2016
      • Re: [TeXmacs] TOC and page headers problems, marc lalaude-labayle, 08/23/2016

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