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[loic MAZO <address@hidden>]

marc lalaude a écrit :

Hi,

i encountered this problem : some blank vertical spaces appear in the
pdf file. Here is the pdf export and the tm file.
  

for me, these spaces appear also in the .ps file

Did you see this already ? Did i do something wrong ?

Thank you
  

When fully populated, it seems OK ;-)       (see the attached file)

Loic

<TeXmacs|1.0.6.14>

<style|book>

<\body>
  <chapter|Espaces vectoriels>

  <section|Espace vectoriel, sous-espace vectoriel>

  À partir de <math|\<bbb-K\><rsup|n>> et de quelques exemples, nous allons
  dégager une structure commune à chacun de ces ensembles.

  <subsection|Un exemple de référence : <math|\<bbb-K\><rsup|n>>>

  On rappelle que

  <\equation*>
    \<bbb-K\><rsup|n>={(x<rsub|1>,\<ldots\>, x<rsub|n>),
    x<rsub|i>\<in\>\<bbb-K\>, i\<in\><left|llbracket>1,n<right|rrbracket>},
  </equation*>

  où <math|\<bbb-K\>=\<bbb-R\>> ou <math|\<bbb-C\>>. <math|\<bbb-K\>> est
  appelé le corps des scalaires.

  On munit <math|\<bbb-K\><rsup|n>> des opérations usuelles : l'addition et
  le produit par un scalaire

  <subsubsection|Une opération interne : l'addition>

  bla-bla

  <subsubsection|Une opération externe : le produit par un scalaire>

  bla-bla

  <subsection|Un autre regard sur quelques exemples connus>

  bla-bla

  <subsubsection|L'ensemble des applications numériques
  <math|\<cal-A\>(\<bbb-R\>,\<bbb-R\>)>>

  bla-bla

  <subsubsection|L'ensemble des suites numériques
  <math|\<cal-A\>(\<bbb-N\>,\<bbb-R\>)>>

  bla-bla

  <subsubsection|L'ensemble des matrices <math|\<cal-M\><rsub|n,p>(\<bbb-K\>)>>

  bla-bla

  <subsubsection|L'ensemble des polynômes <math|\<bbb-K\>[X]>>

  bla-bla

  <subsubsection|L'ensemble des variables aléatoires sur
  <math|(\<Omega\>,\<cal-P\>)>>

  bla-bla

  <subsection|Définition d'espace vectoriel>

  bla-bla

  <\subsection>
    Définition de sous-espace vectoriel
  </subsection>

  <subsubsection|Définition>

  <subsubsection|Sous-espace vectoriel et combinaisons linéaires>

  <subsubsection|Exemples>

  <subsection|Exercices>

  <section|Familles de vecteurs>

  <subsection|Famille libre de vecteurs>

  <subsubsection|Définition et exemples>

  <subsubsection|Propriétés des familles libres>

  <subsubsection|Un exemple particulier : famille libre de
  <math|\<bbb-K\><rsup|n>>>

  <subsection|Famille génératrice de vecteurs>

  <subsubsection|Définition et exemples>

  <subsubsection|Propriétés des familles libres>

  <subsubsection|Un exemple particulier : famille génératrice de
  <math|\<bbb-K\><rsup|n>>>

  <subsection|Exercices>

  <section|Base et dimension d'un espace vectoriel>

  <subsection|Base d'un espace vectoriel>

  <subsubsection|Définition>

  <subsubsection|Exemples>

  <subsubsection|Comment montrer qu'une famille de vecteurs de <math|E> est
  une base de <math|E>>

  <\example>
    Soit <math|u=(1,1,-1), v=(1,-1,1)> et <math|w=(-1,1,1)>. Montrons que la
    famille <math|\<cal-F\>=(u,v,w)> est une base de
    <math|\<bbb-R\><rsup|3>.> Soit <math|\<alpha\>, \<beta\>, \<gamma\>
    \<in\>\<bbb-R\>> tels que

    <\equation*>
      \<alpha\>*u+\<beta\>*v+\<gamma\>*w=(0,0,0).
    </equation*>
  </example>

  <subsection|Dimension d'un espace vectoriel>

  <subsubsection|Définition>

  <subsubsection|Propriétés>

  <subsection|Exercices>

  Ici je mets du blah blah piour voir

  <section|Changement de base>

  <subsection|Changement de base pour les vecteurs>

  <\example>
    Soit <math|u=(1,1,-1), v=(1,-1,1)> et <math|w=(-1,1,1)>. La famille
    <math|{u,v,w}> est une base de <math|\<bbb-R\><rsup|3>.> Soit
    <math|a=(x,y,z)> un vecteur de <math|\<bbb-R\><rsup|3>>. Déterminons les
    coordonnées du vecteur <math|a> dans la base <math|\<cal-B\>=(u,v,w)>. On
    cherche donc <math|\<alpha\>, \<beta\>, \<gamma\>\<in\>\<bbb-R\>> tels
    que

    <\equation*>
      a=(x,y,z)=\<alpha\>*u+\<beta\>*v+\<gamma\>*w,
    </equation*>

    c'est à dire tels que <math|a> ait pour coordonnées
    <math|<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>>
    dans la base <math|\<cal-B\>> :

    <\equation*>
      [a]<rsub|\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>.
    </equation*>

    On a

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|[a]<rsub|\<cal-B\><rsub|0>>>|<cell|=>|<cell|[\<alpha\>*u+\<beta\>*v+\<gamma\>*w]<rsub|\<cal-B\><rsub|0>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<alpha\>*[u]<rsub|\<cal-B\><rsub|0>>+\<beta\>*[v]<rsub|\<cal-B\><rsub|0>>+\<gamma\>*[w]<rsub|\<cal-B\><rsub|0>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<alpha\>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>>|<row|<cell|1>>|<row|<cell|-1>>>>>+\<beta\>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>>|<row|<cell|-1>>|<row|<cell|1>>>>>+\<gamma\>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|-1>>|<row|<cell|1>>|<row|<cell|1>>>>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|-1>>|<row|<cell|1>|<cell|-1>|<cell|1>>|<row|<cell|-1>|<cell|1>|<cell|1>>>>>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>.>>>>
    </eqnarray*>

    Ainsi

    <\equation*>
      <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x>>|<row|<cell|y>>|<row|<cell|z>>>>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|-1>>|<row|<cell|1>|<cell|-1>|<cell|1>>|<row|<cell|-1>|<cell|1>|<cell|1>>>>>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>,
    </equation*>

    et donc

    <\equation*>
      <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>=<left|(><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|-1>>|<row|<cell|1>|<cell|-1>|<cell|1>>|<row|<cell|-1>|<cell|1>|<cell|1>>>>><right|)><rsup|-1>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x>>|<row|<cell|y>>|<row|<cell|z>>>>>.
    </equation*>

    Après calculs, on trouve

    <\equation*>
      <left|(><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|-1>>|<row|<cell|1>|<cell|-1>|<cell|1>>|<row|<cell|-1>|<cell|1>|<cell|1>>>>><right|)><rsup|-1>=<frac|1|2>*<left|(><tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|0>>|<row|<cell|1>|<cell|0>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|1>>>>><right|)>,
    </equation*>

    et

    <\equation*>
      [a]<rsub|\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|\<alpha\>>>|<row|<cell|\<beta\>>>|<row|<cell|\<gamma\>>>>>>=<frac|1|2>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x+y>>|<row|<cell|x+z>>|<row|<cell|y+z>>>>>.
    </equation*>
  </example>

  Généralisons cet exemple.

  Soit <math|E> un espace vectoriel de dimension finie
  <math|n\<in\>\<bbb-N\><rsup|\<ast\>>> et soit <math|\<cal-B\>> et
  <math|\<cal-B\><rprime|'>> deux bases de <math|E>.

  <\definition>
    On appelle matrice de passage de <math|\<cal-B\>> vers
    <math|\<cal-B\><rprime|'>>, et l'on note
    <math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>>, la matrice des
    coordonnées de la famille <math|\<cal-B\><rprime|'>> dans la base
    <math|\<cal-B\>>.
  </definition>

  <\warning>
    On parle de matrice de passage de <math|\<cal-B\>> vers
    <math|\<cal-B\><rprime|'>> pour écrire la matrice des coordonnées de
    <math|\<cal-B\><rprime|'>> dans <math|\<cal-B\>> et non l'inverse, comme
    on serait tenté de le faire.
  </warning>

  <\proposition>
    Soit <math|\<cal-B\>> et <math|\<cal-B\><rprime|'>> deux bases de E. La
    matrice de passage <with|mode|math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>>
    est inversible.
  </proposition>

  <\proof>
    Les colonnes de <math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\>
    <rprime|'>>> forment une famille libre, car <math|\<cal-B\><rprime|'>>
    est une base de <math|E>. D'après le théorème ??, la matrice
    <with|mode|math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\> <rprime|'>>> est
    donc inversible.
  </proof>

  Soit <math|v> un vecteur de <math|E> de coordonnées
  <math|[v]<rsub|\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>>>
  dans la base <math|\<cal-B\>> et <math|[v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|n>>>>>>>
  dans la base <math|\<cal-B\><rprime|'>>. Quelle ralation existe-t-il entre
  <with|mode|math|[v]<rsub|\<cal-B\>>> et
  <with|mode|math|[v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>> ? Le théorème suivant, qui
  n'est qu'une réécriture de l'exemple précédent, répond à cette question.

  <\theorem>
    Soit <math|E> un espace vectoriel de dimension finie
    <math|n\<in\>\<bbb-N\><rsup|\<ast\>>> et soit <math|\<cal-B\>> et
    <math|\<cal-B\><rprime|'>> deux bases de <math|E>. Soit
    <with|mode|math|P=P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>> la
    matrice de passage de <math|\<cal-B\>> vers <math|\<cal-B\><rprime|'>>.
    Soit <math|v> un vecteur de <math|E>. Alors

    <\equation*>
      [v]<rsub|\<cal-B\>>=P*[v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>.
    </equation*>

    De manière équivalente, on a

    <\equation*>
      [v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>=P<rsup|-1>*[v]<rsub|\<cal-B\>>.
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    \ Notons <with|mode|math|\<cal-B\>=(u<rsub|1>,u<rsub|2>,\<ldots\>,u<rsub|n>)>
    et <with|mode|math|\<cal-B\><rprime|'>=(u<rprime|'><rsub|1>,
    u<rprime|'><rsub|2>,\<ldots\>,u<rprime|'><rsub|n>).> Soit <math|v\<in\>E>
    de coordonnées <math|(x<rsub|1>,\<ldots\>,x<rsub|n>)> dans
    <math|\<cal-B\>> et de coordonnées <math|(x<rprime|'><rsub|1>,\<ldots\>,x<rprime|'><rsub|n>)>
    dans <math|\<cal-B\><rprime|'>> :

    <\equation*>
      [v]<rsub|\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>><space|1em><with|mode|text|et><space|1em>[v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|n>>>>>>.
    </equation*>

    On a

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|[v]<rsub|\<cal-B\>>>|<cell|=>|<cell|[x<rprime|'><rsub|1>*u<rprime|'><rsub|1>+\<cdots\>+x<rprime|'><rsub|n>*u<rprime|'><rsub|n>]<rsub|\<cal-B\>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|x<rprime|'><rsub|1>*[u<rprime|'><rsub|1>]<rsub|\<cal-B\>>+\<cdots\>+x<rprime|'><rsub|n>*[u<rprime|'><rsub|n>]<rsub|\<cal-B\>>.>>>>
    </eqnarray*>

    Notons <math|(a<rsub|1 i>,\<ldots\>,a<rsub|n i>)> les coordonnées de
    <math|u<rprime|'><rsub|i>> dans la base <math|\<cal-B\>>
    (<math|i\<in\><left|llbracket>1,n<right|rrbracket>>) :

    <\equation*>
      [u<rprime|'><rsub|i>]<rsub|\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1
      i>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n i>>>>>>.
    </equation*>

    Alors

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|[v]<rsub|\<cal-B\>>>|<cell|=>|<cell|x<rprime|'><rsub|1>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1
      1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n
      1>>>>>>+\<cdots\>+x<rprime|'><rsub|n>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|n
      1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n
      n>>>>>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1
      1>>|<cell|\<ldots\>>|<cell|a<rsub|n
      1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n
      1>>|<cell|\<ldots\>>|<cell|a<rsub|n
      n>>>>>>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|n>>>>>>.>>>>
    </eqnarray*>

    Or

    <\equation*>
      <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1
      1>>|<cell|\<ldots\>>|<cell|a<rsub|n
      1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n
      1>>|<cell|\<ldots\>>|<cell|a<rsub|n
      n>>>>>>=P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>.
    </equation*>

    Donc

    <\equation*>
      [v]<rsub|\<cal-B\>>=P*[v]<rsub|\<cal-B\><rprime|'>>,
    </equation*>

    soit

    <\equation*>
      <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>>=P*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|n>>>>>>.
    </equation*>

    De manière équivalente, <math|P> étant inversible, on a

    <\equation*>
      <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rprime|'><rsub|n>>>>>>=P<rsup|-1>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>>.
    </equation*>

    \;
  </proof>

  <\warning>
    La matrice de passage de <math|\<cal-B\>> vers <math|\<cal-B\><rprime|'>>
    <math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>> permet donc de
    \S passer \T des coordonnées d'un vecteur dans <math|\<cal-B\><rprime|'>>
    à ses coordonnées dans <math|\<cal-B\>> : attention, le nom matrice de
    passage de <math|\<cal-B\>> vers <math|\<cal-B\><rprime|'>> peut être
    trompeur.
  </warning>

  <\theorem>
    Soit <math|E> un espace vectoriel de dimension finie <math|n> et
    <math|\<cal-B\>, \<cal-B\><rprime|'>> et <math|\<cal-B\><rprime|''>>
    trois bases de <math|E>.

    <\enumerate>
      <item><math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\>>=I<rsub|n>>

      <item><math|P<rsub|\<cal-B\><rprime|'>\<rightarrow\>\<cal-B\>>=(P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>)<rsup|-1>>

      <item><math|P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>B<rprime|''>>=P<rsub|\<cal-B\>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|'>>*P<rsub|\<cal-B\><rprime|'>\<rightarrow\>\<cal-B\><rprime|''>>>
    </enumerate>
  </theorem>

  <\proof>
    TO DO
  </proof>

  <\exercise>
    Soit <math|\<cal-B\>=(1,1+X,1+X+X<rsup|2>).>

    <\enumerate>
      <item>Montrer que <math|\<cal-B\>> est une base de
      <math|\<bbb-R\><rsub|2>[X]>.

      <item>Soit <math|P(X)=a*X<rsup|2>+b*X+c>. Déterminer les coordonnées de
      <math|P> dans la base <math|\<cal-B\>>.
    </enumerate>

    \;

    <strong|Solution :>

    <\enumerate>
      <item>Montrons que <math|\<cal-B\>> est une famille libre. Soit
      <math|\<alpha\>, \<beta\>, \<gamma\>\<in\>\<bbb-R\>> tels que

      <\equation*>
        \<alpha\>*+\<beta\>*(1+X)+\<gamma\>*(1+X+X<rsup|2>)=0.
      </equation*>

      Par identification, on a

      <\equation*>
        \<alpha\>+\<beta\>+\<gamma\>=0,<space|1em>\<beta\>+\<gamma\>=0<space|1em><with|mode|text|et><space|1em>\<gamma\>=0.
      </equation*>

      Donc <math|\<alpha\>=\<beta\>=\<gamma\>=0>. <math|\<cal-B\>> est une
      famille libre de 3 vecteurs de <math|\<bbb-R\><rsub|2>[X]>. Or
      <math|dim \<bbb-R\><rsub|2>[X]=3>, donc <math|\<cal-B\>> est une base
      de <math|\<bbb-R\><rsub|2>[X]>.

      <item>Soit

      <\equation*>
        P<rsub|B<rsub|0>\<rightarrow\>\<cal-B\>>=<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|0>|<cell|1>>>>>
      </equation*>

      la matrice de passage de <math|\<cal-B\><rsub|0>> à <math|\<cal-B\>> la
      base canonique de <math|\<bbb-R\><rsub|2>[X]>. Notons <math|(x,y,z)>
      les coordonnées de <math|P> dans la base <math|\<cal-B\>>. On a

      <\equation*>
        <matrix|<tformat|<table|<row|<cell|x>>|<row|<cell|y>>|<row|<cell|z>>>>>=<left|(><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|0>|<cell|1>>>>><right|)><rsup|-1>*<matrix|<tformat|<table|<row|<cell|a>>|<row|<cell|b>>|<row|<cell|c>>>>>.
      </equation*>

      Or\ 

      <\equation*>
        <left|(><tabular|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|1>>|<row|<cell|0>|<cell|0>|<cell|1>>>>><right|)><rsup|-1>=<with|mode|prog|<with|mode|math|<left|(><tabular*|<tformat|<table|<row|<cell|1>|<cell|-1>|<cell|0>>|<row|<cell|0>|<cell|1>|<cell|-1>>|<row|<cell|0>|<cell|0>|<cell|1>>>>><right|)>>.>
      </equation*>

      Donc

      <\equation*>
        P(X)=(a-b)+(b-c)*(1+X)+c*(1+X+X<rsup|2>).
      </equation*>
    </enumerate>
  </exercise>

  <subsection|Changement de repère>

  <section|Sommes et sommes directes d'espaces vectoriels>

  <section|Rang(s)>

  <subsection|Rang d'une matrice : approche théorique>

  insister sur la notion de dimension et faire lien avec nbre de pivots
  (approche algorithmlique) c'est bien le même rang.

  <subsection|Rang d'une famille de vecteurs>
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|language|french>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|1>>
    <associate|auto-10|<tuple|1.1.2.4|1>>
    <associate|auto-11|<tuple|1.1.2.5|1>>
    <associate|auto-12|<tuple|1.1.3|1>>
    <associate|auto-13|<tuple|1.1.4|2>>
    <associate|auto-14|<tuple|1.1.4.1|2>>
    <associate|auto-15|<tuple|1.1.4.2|2>>
    <associate|auto-16|<tuple|1.1.4.3|2>>
    <associate|auto-17|<tuple|1.1.5|2>>
    <associate|auto-18|<tuple|1.2|2>>
    <associate|auto-19|<tuple|1.2.1|2>>
    <associate|auto-2|<tuple|1.1|1>>
    <associate|auto-20|<tuple|1.2.1.1|2>>
    <associate|auto-21|<tuple|1.2.1.2|2>>
    <associate|auto-22|<tuple|1.2.1.3|2>>
    <associate|auto-23|<tuple|1.2.2|2>>
    <associate|auto-24|<tuple|1.2.2.1|2>>
    <associate|auto-25|<tuple|1.2.2.2|2>>
    <associate|auto-26|<tuple|1.2.2.3|2>>
    <associate|auto-27|<tuple|1.2.3|2>>
    <associate|auto-28|<tuple|1.3|2>>
    <associate|auto-29|<tuple|1.3.1|2>>
    <associate|auto-3|<tuple|1.1.1|1>>
    <associate|auto-30|<tuple|1.3.1.1|2>>
    <associate|auto-31|<tuple|1.3.1.2|2>>
    <associate|auto-32|<tuple|1.3.1.3|2>>
    <associate|auto-33|<tuple|1.3.2|2>>
    <associate|auto-34|<tuple|1.3.2.1|2>>
    <associate|auto-35|<tuple|1.3.2.2|2>>
    <associate|auto-36|<tuple|1.3.3|2>>
    <associate|auto-37|<tuple|1.4|3>>
    <associate|auto-38|<tuple|1.4.1|3>>
    <associate|auto-39|<tuple|1.4.2|5>>
    <associate|auto-4|<tuple|1.1.1.1|1>>
    <associate|auto-40|<tuple|1.5|5>>
    <associate|auto-41|<tuple|1.6|5>>
    <associate|auto-42|<tuple|1.6.1|5>>
    <associate|auto-43|<tuple|1.6.2|5>>
    <associate|auto-5|<tuple|1.1.1.2|1>>
    <associate|auto-6|<tuple|1.1.2|1>>
    <associate|auto-7|<tuple|1.1.2.1|1>>
    <associate|auto-8|<tuple|1.1.2.2|1>>
    <associate|auto-9|<tuple|1.1.2.3|1>>
  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|toc>
      <vspace*|1fn><with|font-series|<quote|bold>|math-font-series|<quote|bold>|1<space|2spc>Espaces
      vectoriels> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-1><vspace|0.5fn>

      1.1<space|2spc>Espace vectoriel, sous-espace vectoriel
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-2>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.1.1<space|2spc>Un exemple de référence :
      <with|mode|<quote|math>|\<bbb-K\><rsup|n>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-3>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.1.1<space|2spc>Une opération interne :
      l'addition <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-4>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.1.2<space|2spc>Une opération externe :
      le produit par un scalaire <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-5>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.1.2<space|2spc>Un autre regard sur
      quelques exemples connus <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-6>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.2.1<space|2spc>L'ensemble des
      applications numériques <with|mode|<quote|math>|\<cal-A\>(\<bbb-R\>,\<bbb-R\>)>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-7>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.2.2<space|2spc>L'ensemble des suites
      numériques <with|mode|<quote|math>|\<cal-A\>(\<bbb-N\>,\<bbb-R\>)>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-8>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.2.3<space|2spc>L'ensemble des matrices
      <with|mode|<quote|math>|\<cal-M\><rsub|n,p>(\<bbb-K\>)>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-9>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.2.4<space|2spc>L'ensemble des polynômes
      <with|mode|<quote|math>|\<bbb-K\>[X]>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-10>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.2.5<space|2spc>L'ensemble des variables
      aléatoires sur <with|mode|<quote|math>|(\<Omega\>,\<cal-P\>)>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-11>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.1.3<space|2spc>Définition d'espace
      vectoriel <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-12>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.1.4<space|2spc>Définition de sous-espace
      vectoriel <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-13>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.4.1<space|2spc>Définition
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-14>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.4.2<space|2spc>Sous-espace vectoriel et
      combinaisons linéaires <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-15>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.1.4.3<space|2spc>Exemples
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-16>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.1.5<space|2spc>Exercices
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-17>>

      1.2<space|2spc>Familles de vecteurs
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-18>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.2.1<space|2spc>Famille libre de vecteurs
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-19>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.1.1<space|2spc>Définition et exemples
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-20>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.1.2<space|2spc>Propriétés des familles
      libres <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-21>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.1.3<space|2spc>Un exemple particulier :
      famille libre de <with|mode|<quote|math>|\<bbb-K\><rsup|n>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-22>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.2.2<space|2spc>Famille génératrice de
      vecteurs <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-23>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.2.1<space|2spc>Définition et exemples
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-24>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.2.2<space|2spc>Propriétés des familles
      libres <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-25>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.2.2.3<space|2spc>Un exemple particulier :
      famille génératrice de <with|mode|<quote|math>|\<bbb-K\><rsup|n>>
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-26>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.2.3<space|2spc>Exercices
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-27>>

      1.3<space|2spc>Base et dimension d'un espace vectoriel
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-28>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.3.1<space|2spc>Base d'un espace
      vectoriel <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-29>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.3.1.1<space|2spc>Définition
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-30>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.3.1.2<space|2spc>Exemples
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-31>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.3.1.3<space|2spc>Comment montrer qu'une
      famille de vecteurs de <with|mode|<quote|math>|E> est une base de
      <with|mode|<quote|math>|E> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-32>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.3.2<space|2spc>Dimension d'un espace
      vectoriel <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-33>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.3.2.1<space|2spc>Définition
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-34>>

      <with|par-left|<quote|3fn>|1.3.2.2<space|2spc>Propriétés
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-35>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.3.3<space|2spc>Exercices
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-36>>

      1.4<space|2spc>Changement de base <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-37>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.4.1<space|2spc>Changement de base pour
      les vecteurs <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-38>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.4.2<space|2spc>Changement de repère
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-39>>

      1.5<space|2spc>Sommes et sommes directes d'espaces vectoriels
      <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-40>

      1.6<space|2spc>Rang(s) <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-41>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.6.1<space|2spc>Rang d'une matrice :
      approche théorique <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-42>>

      <with|par-left|<quote|1.5fn>|1.6.2<space|2spc>Rang d'une famille de
      vecteurs <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
      <no-break><pageref|auto-43>>
    </associate>
  </collection>
</auxiliary>