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Here are they

MLL

\documentclass{article}
\input{../maths}
\usepackage{pst-plot}
\usepackage{pst-node}

\usepackage{graphics}

\geometry{left=10mm}




\parindent=0pt

\def\boxit#1#2{\setbox1=\hbox{\kern#1{#2}\kern#1}%
\dimen1=\ht1 \advance \dimen1 by #1 \dimen2=\dp1 \advance\dimen2 by #1
\setbox1=\hbox{\vrule height\dimen1 depth\dimen2\box1\vrule}%
\setbox1=\vbox{\hrule\box1\hrule}%
\advance\dimen1 by .4pt \ht1=\dimen1
\advance\dimen2 by .4pt \dp1=\dimen2 \box1\relax}




\def\Titre#1{\hbox to \hsize{\hfill\boxit{6pt}{#1}\hfill}}
\def\point#1{{\bf #1}\qquad}

\begin{document}





\hbox{
\hsize=9cm
\vtop{
\parindent=0pt
\Titre{LOGARITHME NÉPÉRIEN}     % accents sur les majuscules (15/05/03)

\bigskip
\bigskip

\point{Ensemble de définition}

La fonction logarithme népérien, notée\enskip $\ln$\enskip est définie sur $]0;+\infty[$

\medskip

\point{Dérivée}

La fonction\enskip $\ln$\enskip est dérivable sur $]0;+\infty[$ et on a : 

$$\forall x\in]0;+\infty[\quad \ln'(x)=\frac{\dd}{\dd x}\ln x = \frac1x$$

\bigskip
\def\tv{\vrule height 7pt depth 3pt}
\psset{nodesep=3pt}
$$\vbox{\offinterlineskip\halign{ $#$\enspace& \tv$\,$#& $#$ & \hfill$#$\cr
x  &   &0 \qquad\qquad\qquad & +\infty{}            \cr
\noalign{\hrule}
   &\tv&                     & \rnode{haut}{+\infty}\cr
\ln&\tv&                     &                      \cr
   &\tv&\rnode{bas}{-\infty} &                      \cr
}}$$ % vtop et halign
\ncline{->}{bas}{haut}

\bigskip



\qquad \scalebox{0.7}{\vtop{\begin{pspicture}(-3,-5)(6,5)
%\psgrid{gridcolor=yellow}
\psaxes[labels=none,ticksize=2pt,linewidth=0.1pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.5)(6.5,4.5)
\psclip{\psline[linewidth=0pt,linecolor=white](-3,-3.5)(6,-3.5)(6,5)(-3,5)(-3,-4)}
\psplot[linewidth=1pt]{0.01}{6}{x ln}
\psline[linewidth=0.1pt](-2,-3)(5,4)
\endpsclip
\rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2.1,-0.3){$2$}\rput(6.1,-0.3){$6$}
\rput(-1.1,-0.3){$-1$}\rput(0.3,1){$1$}
\rput(5.5,2){${\cal C}_{\ln}$}
\end{pspicture}}}



\bigskip

\point{Valeurs particulières}
\qquad
\vtop{\halign{ $#$\hfil\enskip & \vrule height 15pt depth 7pt# & & \enskip\hfil$#$\enskip\hfil \cr
x     && 1 &  2         & e  \cr
\noalign{\hrule}
\ln x && 0 & \sim 0.69  & 1 \cr
}}


\bigskip
\point{Propriétés algébriques}
\medskip

\hbox to \hsize{\hfil\fbox{$\ds\forall x\, y \in\R^{+*}\quad \ln{(xy)}=\ln x+\ln y$}\hfil}

$$\forall x\in\R^{+*}\quad\forall n\in\Z\quad \ln{(x^n)}=n\ln x$$

$$\forall x\in\R^{+*}\quad \ln{\left(\frac 1x\right)}=-\ln x$$

} % fin de vtop pour le ln
\quad\vrule\qquad
\vtop{
\hsize=9cm

\Titre{EXPONENTIELLE}

\bigskip
\bigskip

\point{Ensemble de définition} 

La fonction exponentielle, notée\enskip $\exp$
\enskip est définie sur $\R$

\medskip

\point{Dérivée}

La fonction\enskip $\exp$\enskip est dérivable sur $\R$ et on a : 
$$\forall x\in\R\quad \exp'(x)=\frac{\dd}{\dd x}e^x = e^x$$

\bigskip

\def\tv{\vrule height 7pt depth 3pt}
\psset{nodesep=3pt}
$$\vbox{\offinterlineskip\halign{ $#$\enspace& \tv$\,$#& $#$ & \hfill$#$\cr
x   &   &-\infty \quad\qquad\qquad & +\infty{}            \cr
\noalign{\hrule}
    &\tv&                     & \rnode{haut}{+\infty}\cr
\exp&\tv&                     &                      \cr
    &\tv&\rnode{bas}{\,0} &                      \cr
}}$$ % vtop et halign
\ncline{->}{bas}{haut}




\scalebox{0.7}{\vtop{\begin{pspicture}(-6,-3)(4,8)
\psaxes[labels=none,ticksize=2pt,linewidth=0.1pt]{->}(0,0)(-5.5,-2.5)(3.5,7.5)
\psclip{\psline[linecolor=white,linewidth=0pt](-5.5,-2)(2.5,-2)(2.5,7)(-5,7)}
\psplot[linewidth=1pt]{-5.5}{2}{2.718 x exp}
\endpsclip
\psline[linewidth=0.1pt](-3,-2)(3,4)
\rput(1.1,-0.3){$1$}\rput(2.1,-0.3){$2$}\rput(-0.9,-0.3){$-1$}\rput(-4.9,-0.3){$-5$}
\rput(-0.3,1.1){$1$}\rput(2.2,6){${\cal C}_{\exp}$}
\end{pspicture}}}


\bigskip

\point{Exponentielle complexe}

L'exponentielle se prolonge à $\C$ en entier :

pour tout $z=x+iy$\quad ($x\in\R\enskip y\in\R$) 


$$e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$$




\bigskip
\bigskip
\point{Propriétés algébriques}

\medskip
\hbox to \hsize{\hfill\fbox{$\ds\forall x\, y \in\C\quad e^{x+y}=e^x\cdot e^y$}\hfill}

$$\forall x\in\C\quad\forall n\in\Z\quad e^{nx}=(e^x)^n$$

$$\forall x\in\C\quad e^{-x}=\frac 1{e^x}$$

} % fin de la vtop pour l'exponentielle
\hfill} % hbox globale


\bigskip\bigskip


$\ln$\enskip et\enskip $\exp$\enskip sont des {\bf bijections réciproques} l'une de l'autre : 
\qquad
$\ds\vcenter{\baselineskip=5mm\halign{#\cr
\hfill$\ln$\hfill\cr
\rnode{Gauche}{$\R^{+*}$}\qquad\qquad\qquad\rnode{Droite}{$\;\R$}\cr
\hfill$\exp$\hfill\cr
}}$
\ncarc[offset=1mm]{->}{Droite}{Gauche}
\ncarc[offset=1mm]{->}{Gauche}{Droite}


\bigskip

\hbox to \hsize{\hfill
\boxit{3pt}{$\ds\forall x\in\R\quad \ln{e^x}=x \qquad \forall x\in\R^{+*}\quad e^{\ln x}=x$}\hfill} 




\end{document}

Attachment: ln-exp.pdf
Description: Adobe PDF document

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• oups, address@hidden, 09/10/2007

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