mailing-list for TeXmacs Users

[marc lalaude-labayle <address@concealed>]

Hi,

you'll find below a file i get from mistral AI : i cut and copy the source in a file and added the extension tm when I saved it, as written by Le Chat.

When I open the file within texmacs I just have exercise 1 that is written.

I have texmacs 2.1.4 and the file generated is for texmacs 1.99.17.

Any hint to get tm files from Mistral AI or what to change to open them flawless within texmacs ?

Thanks,

Marc

Ps : I didn't read the solution of the exercise proposed by Le Chat

Attachment: toto
Description: Binary data

<TeXmacs|1.99.17>

<style|generic>

<\body>
  <title>
    Exercice 1
  </title>

  <section>
    <title>
      1. Stabilité de <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> et <math|<mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> par <math|<mi>g</mi>>
    </title>

    <p>
      <strong>Énoncé :</strong> Soit <math|<mi>E</mi>> un espace vectoriel et <math|<mi>f</mi>> et <math|<mi>g</mi>> deux endomorphismes de <math|<mi>E</mi>> tels que <math|<mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>g</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>. Démontrer que <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> et <math|<mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> sont stables par <math|<mi>g</mi>>.
    </p>

    <p>
      <strong>Solution :</strong>
    </p>

    <itemize>
      <item>
        <strong>Stabilité de <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> par <math|<mi>g</mi>> :</strong>
        <p>
          Soit <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Puisque <math|<mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>g</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>, nous avons :
        </p>
        <p>
          <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>
        </p>
        <p>
          Donc, <math|<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
      </item>
      <item>
        <strong>Stabilité de <math|<mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>> par <math|<mi>g</mi>> :</strong>
        <p>
          Soit <math|<mi>y</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Il existe <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mi>E</mi>> tel que <math|<mi>y</mi><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Puisque <math|<mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>g</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>, nous avons :
        </p>
        <p>
          <math|<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>g</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow>>
        </p>
        <p>
          Donc, <math|<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
      </item>
    </itemize>
  </section>

  <section>
    <title>
      2. Inclusions et égalités des noyaux
    </title>

    <p>
      <strong>Énoncé :</strong> Soit <math|<mi>f</mi>> un endomorphisme de l'espace vectoriel <math|<mi>E</mi>>.
    </p>

    <enumerate>
      <item>
        Montrer que : <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2286;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>.
      </item>
      <item>
        Montrer que : <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow><mo>&#x21D4;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mrow>>.
      </item>
    </enumerate>

    <p>
      <strong>Solution :</strong>
    </p>

    <enumerate>
      <item>
        <strong><math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2286;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>> :</strong>
        <p>
          Soit <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Puisque <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>, nous avons :
        </p>
        <p>
          <math|<mrow><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>
        </p>
        <p>
          Donc, <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
      </item>
      <item>
        <strong><math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow><mo>&#x21D4;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mrow>> :</strong>
        <p>
          <strong><math|<mo>&#x21D2;</mo>> :</strong> Supposons <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Soit <math|<mi>y</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Il existe <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mi>E</mi>> tel que <math|<mi>y</mi><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>>. Puisque <math|<mi>y</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>, nous avons <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>. Donc :
        </p>
        <p>
          <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>
        </p>
        <p>
          Donc, <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Ainsi, <math|<mi>y</mi><mo>=</mo><mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>.
        </p>
        <p>
          <strong><math|<mo>&#x21D0;</mo>> :</strong> Supposons <math|<mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Nous savons déjà que <math|<mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2286;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>. Montrons l'inclusion inverse.
        </p>
        <p>
          Soit <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi></mrow>>. Nous devons montrer que <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
        <p>
          Puisque <math|<mrow><mo>(</mo><mi>f</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>f</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>, nous avons <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Mais <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>. Donc, <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>I</mi><mi>m</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>&#x2229;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mn>0</mn><mo>}</mo></mrow>>. Ainsi, <math|<mrow><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn>>, ce qui signifie que <math|<mi>x</mi><mo>&#x2208;</mo><mrow><mi>K</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow><mo>&#x2061;</mo><mrow><mi>f</mi></mrow>>.
        </p>
      </item>
    </enumerate>
  </section>
</body>

</TeXmacs>